Rechenschaltungen

Halbaddierer (HA)

1-Bit-Volladdierer (VA)

Die Addition zweier mehrstelliger Binärzahlen erfordert an jeder Stelle einen Addierer mit drei Eingängen (Volladdierer genannt), weil der Übertrag der vorangehenden Stelle addiert werden muss.

An der letzten Stelle würde ein Halbaddierer genügen.

Aus der Schalttabelle ergeben sich Terme für die Summe s und den Übertrag ü, die vereinfacht werden.

s = c∧b∧a ∨ c∧b∧a ∨ c∧b∧a ∨ c∧b∧a
= c∧((b∧a)∨(b∧a)) ∨ c∧((b∧a)∨(b∧a))
= c∧((a∧b)∨(b∧a)) ∨ c∧((b∧a)∨(a∧b))
= c∧(a⊕b) ∨ c∧(b⊕a) wie unter Logik gezeigt
= c⊕(b⊕a)
= (a⊕b)⊕c

c = c∧b∧a ∨ c∧b∧a ∨ c∧b∧a ∨ c∧b∧a
= (c∨c)∧(b∧a) ∨ c∧((b∧a)∨(b∧a))
= (b∧a) ∨ c∧(a⊕b)

4-Bit-Volladierer (VA4)

Vier 1-Bit-Volladdierer werden in Reihe geschaltet, so dass zwei 4-Bit-Zahlen addiert werden können. Auch an der letzten Stelle (Bit 0) wird ein 1-Bit-Volladdierer verwendet; so können mehrere 4-Bit-Volladdierer in Reihe geschaltet werden, um 8-Bit-Zahlen oder mehrstellige zu addieren (Kaskade).

Beachte: Da sich nun an der letzten Stelle (Bit 0) statt eines Halbaddieres ein Volladdierer befindet, muss am Übertragseingang (Carry-Input C0) des rechten 4-Bit-Volladdieres manuell eine "0" angelegt werden.

Zahlen

Nach der Regel a - b = a + (-b) wird die Subtraktion auf die Addition einer negativen Zahl zurückgeführt. Aber wie sieht eine negative Zahl aus?

Weil 1111+0001 beim Addieren 0000 ergibt, was bei unseren "normalen" Zahlen -1 + 1 = 0 enspricht, soll 1111 die Zahl vor 0000 sein, also der dezimalen -1 entsprechen.

Bezogen auf eine 4-Bit-Zahl wird man die 16 Kombinationen (möglichst fair) aufteilen in positive Zahlen, negative Zahlen und Null.
    0000 bleibt Null, 0001 bleibt 1 usw.
Die Zahlen, die mit einer "1" beginnen, das ist die Hälfte aller 4-Bit-Zahlen, betrachten wir als negativ. Die anderen als positiv bzw. 0000 speziell als Null.

Es gibt also 8 negative Zahlen und 7 positive und Null. Das ist wenig! Um einige größere Anzahl zu bekommen, um sinnvoll rechnen zu können, müssen mehr als 4 Bits benutzt werden.

Anzahl Bits	Anzahl Zahlen	größte positive Zahl
4	24 = 16	7
8	28 = 256	127
16	216 = 65536	65536
32	232 = 4294967296	2147483647
64	264 = 18446744073709551616	9223372036854775807

Immer besteht aber das Problem, dass beim Rechnen das Ergebnis so groß wird, dass die größte darstellbare Zahl überschritten wird. Dann liegt ein Überlauf vor, den der Programmierer erkennen muss.
Um sehr große Zahlen und sehr kleine (also Bruchteile) zu beschreiben, benutzt man Festkommazahlen mit Exponentialschreibweise wie 3.1862792*10^-4 eingeführt. Die Anzahl der dabei verwendeten Ziffern bestimmt die mögliche Genauigkeit.

Negative Zahlen

Wenn zu einer positiven Zahl die zugehörige negative Zahl (Gegenzahl) gefunden werde soll, ist das Zehnersystem einfach: -37 ist das Negative von 37, denn -37 + 37 = 0.

Und wie ist das bei Binärzahlen?. Es ist leicht, zu einer Zahl eine andere zu finden, deren Summe 1111 ergibt. Dazu müssen nur alle Ziffern "umgedreht" werden:

 0000   0001   0010   0011   0100   0101   0110   0111
+1111  +1110  +1101  +1100  +1011  +1010  +1001  +1000
-----  -----  -----  -----  -----  -----  -----  -----
 1111   1111   1111   1111   1111   1111   1111   1111

Es muss nur zusätzlich die Zahl 0001 addiert werden, dann ergibt sich 0000.

 0000   0001   0010   0011   0100   0101   0110   0111
+1111  +1110  +1101  +1100  +1011  +1010  +1001  +1000
+0001  +0001  +0001  +0001  +0001  +0001  +0001  +0001
-----  -----  -----  -----  -----  -----  -----  -----
 0000   0000   0000   0000   0000   0000   0000   0000

Die "umgedrehte Zahl" (Zweierkomplement genannt) plus 0001 ist die Gegenzahl:
-0110 = 1001+0001 = 1011; allgemein - d c b a = d c b a + 0 0 0 1.