Grundbausteine

UND-Baustein von Logitron (animiert)

  UND ODER NICHT XOR
Schalt-
tabelle
Symbol
Simulation
mit
Locad
animiert animiert animiert animiert

Regeln

Aufgabe: Fülle die Eingabefelder aus. Gelange mit Tabulator ⭾ jeweils zum nächsten Feld.
Mögliche Eingaben sind: 0, 1, a, b, u (für und), o (für oder).

 
a ∧ 0 =
a ∧ 1 =
a ∧ a =
a ∧ a =
 
a ∨ 0 =
a ∨ 1 =
a ∨ a =
a ∨ a =
de Morgansche Regeln:
a ∧ b = a ∨ b
a ∨ b = a ∧ b
a̅ ∧ b̅ = a b
a̅ ∨ b̅ = a b

a =
a ∨ (a ∧ b) =
a ∧ (a ∨ b) =

Kommutativität
a ∧ b = b ∧ a
a ∨ b = b ∨ a
Assoziativität
a ∧ (b ∧ c) = (a ∧ b) ∧ c
a ∨ (b ∨ c) = (a ∨ b) ∨ c
Distributivität
a ∧ (b ∨ c) = (a ∧ b) ∨ (a ∧ c)
a ∨ (b ∧ c) = (a ∨ b) ∧ (a ∨ b)

Weitere Bausteine

Ein UND- mit einem nachgeschalteten NICHT-Baustein wird als NAND bezeichnet, ein ODER mit nachgeschaltetem NICHT als NOR.
Im Symbol wird das NICHT (die Invertierung) durch einen kleinen Kreis dargestellt..

Aufgabe: Drücke die Tasten a und b und ergänze die Schaltwerttabellen für a ∧ b und a ∨ b.
Mögliche Eingaben sind: 0, 1, a, b.

Simulation NAND

animiert

a b │ a ∧ b
0 0 │  
0 1 │  
1 0 │  
1 1 │  

Simulation NOR

animiert

a b │ a ∨ b
0 0 │  
0 1 │  
1 0 │  
1 1 │  


Anmerkung:
In den USA werden andere Symbole für die vorgestellten Grundbausteine verwendet. Da sie in der Literatur und Simulationsprogrammen vorkommen, werden diese Symbole kurz vorgestellt:

Jede Schaltung läßt sich aus NAND-Bausteinen aufbauen. (Deshalb hat der IC auch die Bezeichnung 7400).

Ein XOR (Exklusiv-ODER bzw. Entweder-Oder bzw. "genau eins von beiden") wird beschrieben durch a ⊕ b = (a ∧ b) ∨ (a ∧ b). Mit den oben aufgeführten Regeln kann dieser Term trickreich umgeformt werden.

a ⊕ b =
0 ∨ a ⊕ b ∨ 0 =
0 ∨ (a ∧ b) ∨ (b ∧ a) ∨ 0 =
(a ∧ a) ∨ (a ∧ b) ∨ (b ∧ a) ∨ (b ∧ b) =
(a ∧ a) ∨ (a ∧ b) ∨ (b ∧ a) ∨ (b ∧ b) =
(a ∨ (a ∧ b) ∧ (a ∨ (a ∧ b)) ∨ ((b ∧ a) ∨ b) ∧ ((b ∧ a) ∨ b) =
((a ∨ a) ∧ (a ∨ b) ∧ (a ∨ a) ∧ (a ∨ b)) ∨ ((b ∨ b) ∧ (a ∨ b) ∧ (b ∨ b) ∧ (a ∨ b) =
(1 ∧ (a ∨ b) ∧ (a ∨ b) ∧ a) ∨ (1 ∧ (a ∨ b) ∧ b ∧ (a ∨ b) =
((a ∨ b) ∧ a) ∨ ((a ∨ b) ∧ b) =
(a ∧ b ∧ a) ∨ (a ∧ b ∧ b) =

Der letzte Term setzt - wie an den waagerechten Linien zu erkennen ist - aus 5 NANDs zusammen, wobei eines doppelt verwendet wird. In einer Schaltung genügen also 4 NAND-Bauteile. Die befinden sich auf einem IC 7400.

Simulation mit Logisim (download Simulation>Logisim>Beispiele XOR)

Klicke auf die Schalter und teste die Schaltung.

Aufbau mit IC 7400

Simulation mit DigitalWorks 2.0


Klicke auf die Schalter und teste die Schaltung.

Aufgabe: Entwirf den Schaltplan für ein XOR, das nach der Gleichung mit einem ODER-, zwei UND- und zwei NICHT-Bausteinen aufgebaut ist.

Aufgabe: Vervollständige:

a ⊕ b

=

=

= (a ∨ b) ∧ (b a)

= (a ∧ (b ∨ a)) ∨ ( ∧ (b ∨ a))

= ((a ∧ b) ∨ (a ∧ a)) ∨ ((b ∧ b) ∨ (b ∧ a))

= ((a ∧ b) ∨ ) ∨ (0 ∨ (b ∧ a))

= (a ∧ b) ∨ (b ∧ a)

   Ersetze vorübergehend a durch c und entsprechend a durch c.

= (c ∧ b) ∨ (b ∧ c)

   Das ist doch "entweder c oder b".

= ⊕ b

   Jetzt ersetze wieder c durch a.

= a ⊕ b

Aufgabe: Prüfe die Formel a ⊕ b = a ⊕ b, indem du die Wertetabellen ausfüllst und die Ergebnisse vergleichst.

a b a ⊕ b a ⊕ b
00
01
10
11

a b a a ⊕ b
00
01
10
11

Aufgabe: Entwirf unter alleiniger Verwendung von NAND-Bausteinen Schaltpläne für

  1. einen NICHT-Baustein
    Es gilt: a = a ∧ a
  2. einen UND-Baustein
    Es gilt: a ∧ b = .
  3. einen ODER-Baustein
    Es gilt: Es gilt: a ∨ b =
  4. einen NOR-Baustein
    Es gilt: a ∨ b = a ∧ b

Aufgabe: Baue NICHT, UND und ODER mit einem IC 7400, einigen Drähten, einer LED und einem Widerstand 180 Ω oder 220 Ω auf einem Steckboard auf.