Dem fremden Computer ausgeliefert, ist der Mensch zunächst überfordert. Muß er sich doch völlig neuen, sturen Spielregeln unterordnen, die ihm eine dominante Maschine vorgibt. Da diese erste Begegnung in hohem Maß die persönliche Einstellung zu dieser neuen Technik prägt, muß es zunächst Ziel eines Computer-Lehrgangs sein, den Anfänger in die Rolle des bestimmend Handelnden zu bringen, den Computer in die des Ausführenden.

Fortschritt ins Ungewisse

Noch bestaunt der Mensch das Unberechnete, aber mehr und mehr entschlüsselt er das Unbekannte und verändert es. Hatte er bislang nur die Macht, das Vorhandene zu zerstören, fügt er der Welt heute Neues – mit vielleicht noch größerer Zerstörungskraft – hinzu: Er manipuliert das Leben und erschafft mit dem Computer sein Ebenbild.

Die wachsende Macht des Menschen über die Welt läßt diese immer komplexer erscheinen. Jede neue Einsicht vergrößert das Entscheidungspotential und führt zu neuer Unsicherheit, während unsere Verantwortung zunimmt. Wir zeigen uns zunehmend überfordert und hilflos. Wir setzen Computer ein, die kontrollieren und steuern, und ziehen uns auf die Position eines obersten Entscheidungsträgers zurück.

Während sich immer vielfältigere Anwendungsmöglichkeiten für Computer finden, gerät der Mensch zunehmend in die Defensive. In dieser kritischen Phase des Einzugs einer universalen Maschine in unsere Gesellschaft reicht die Diskussion allein der technischen Aspekte zur Bewältigung der anstehenden Probleme nicht aus.

"Die angemessene Aufnahme der Herausforderung durch die Computerentwicklung könnte doch statt in der möglichst weitgehenden Übernahme der bereitgestellten Möglichkeiten und Anpassung an dadurch »automatisch« sich anbahnende Entwicklungen gerade darin bestehen, daß wir tiefer und umfassender als je die Sinnfrage stellen müssen, daß wir erst recht danach fragen müssen, was wir eigentlich wollen, welche »Visionen für ein Morgen« wir eigentlich haben." [Köhler]

Der heute diskutierte Einsatz des Computers in der Schule darf nicht allein aus fachdidaktischen Überlegungen heraus begründet oder abgelehnt werden. Vielmehr ist im einzelnen abzuwägen, inwieweit jedes einzelne Fach einen Beitrag für eine Auseinandersetzung mit der Informationstechnik leisten kann.

"Die Schule muß sich dem Problemfeld Informationstechnik und Medien zuwenden, weil nur sie als allgemeine Bildungsinstitution technische Grundbildung mit inhaltlich-kritischer geistiger Auseinandersetzung wirksam verbinden kann." [Hurrelmann/Hurrelmann]

Wir müssen den jungen Menschen stärken, ihn zunächst zu sich selbst führen und zu seinen Mitmenschen – und dann auch zu den Maschinen. So werden wir auch die Gesellschaft stärken, aus deren Mitte jene Zielvorgaben hervorgehen müssen, die den Erhalt unserer Welt sichern sollen.

Wegbereiter Schule

Immer mehr Wissen wird angehäuft, für den einzelnen Menschen unfaßbar viel. Es wird in Büchern vergraben und in Datenbanken versteckt. In immer raffinierteren Strukturen wird unsere Welt organisiert – Forschung, Wirtschaft, Freizeit, Militär ... Immer mehr Regeln steuern und bestimmen unser Leben, unüberschaubar für jeden von uns. Erfaßbar nur noch von ungeheueren Computersystemen.

Von wem werden unsere Kinder lernen? Wen werden unsere Kinder fragen, wenn sie heranwachsen? Es scheint so, als hätten wir – die Eltern, die Lehrer – gegenüber den allwissenden Computern bereits verloren. Aber noch wissen wir, daß wichtiger als alle Antworten die Fragen sind. Wenn wir auch Antworten schuldig bleiben, so können und müssen wir unseren Kindern vermitteln, wonach sie fragen sollen.

Ein großes Angebot vorgeplanten Lebens drängt unsere Kinder zur Auswahl und läßt ihnen kaum Zeit, ihre ureigenen Bedürfnisse zu erkennen. Es wäre zu wünschen, daß die Konfrontation des Kindes mit der neuen Technik solange aufgeschoben wird, bis sich sein auf verschiedenen, möglichst unmittelbaren Erfahrungen begründetes Weltbild stabilisiert hat. Aber die Begegnung mit der modernen Technik beginnt früh – und außerhalb der Schule.

Elternhaus und Schule müssen dem Kind helfen, die zunächst fremdartigen Eindrücke einzuordnen, Abstand zu halten und die eigene Integrität zu bewahren. Eingebettet in die Erfahrungswelt der Eltern und der Lehrer können die Kinder schrittweise lernen, ihre Umwelt zu erfassen, zu strukturieren, zu beurteilen, und dabei ein Bewußtsein für das Mögliche und das Nötige, für das Denkbare und das Sinnvolle entwickeln.

Die Schule muß sich in kritischer Distanz auch mit dem Computer beschäftigen, den Umgang mit ihm versachlichen und einer Anpassung an derartige Geräte oder gar einer Abhängigkeit davon begegnen.

"In der informationstechnischen Grundbildung sollen Schülerinnen und Schüler Erfahrungen in verschiedenen Rollen – als Betroffener, als Benutzer und auch als Gestalter – beim Umgang mit informationstechnischen Systemen sammeln. […] Vier Themenbereiche bestimmen den Unterricht für die informationstechnische Grundbildung:

Der Unterricht in der informationstechnischen Grundbildung sollte in wenigen, komplexeren Unterrichtseinheiten erteilt werden. In jeder Unterrichtseinheit sollten, in der Regel von einem im Zentrum stehenden Anwendungsfall ausgehend, möglichst alle Themenbereiche erschlossen werden." [MNU]

Der Einsatz des Computers sollte immer begründet sein dadurch, daß er eine pädagogisch erwünschte Lernsituation schafft, daß er das Erreichen des fachlichen Unterrichtsziels begünstigt oder daß er selbst als Gegenstand einer Betrachtung dient. Vorteile und Nachteile des Rechnereinsatzes sollten die Schüler in möglichst "normalen" Unterrichtssituationen erfahren und anschließend diskutieren. Auf diese Weise können sie die Möglichkeiten des Computers sachlich einschätzen lernen und sich der prinzipiellen Einschränkungen dieses Geräts bewußt werden. Jeder Schüler muß

"ein Gespür dafür entwickeln, welche Gefahren in einer exzessiven Computernutzung liegen, denn diese sind das eigentliche Problem für ihn und die Gesellschaft." [Köhler]

Der Gefahr einer Verharmlosung der Computertechnik im überschaubaren, kleinen Rahmen der Schule kann vielleicht dadurch begegnet werden, daß der Rechnereinsatz bewußt modellhaft erfolgt – orientiert an der außerschulischen "echten" Datenverarbeitung, aber doch distanziert, und offen für ergänzende Erkenntnisse, die draußen "vor Ort" gewonnen werden sollten.

Offener Unterricht

Die Mathematiker, Naturwissenschaftler und Techniker sind geneigt, ihre Produkte wertfrei zu betrachten als Hilfsangebot für andere Forschungs- und Anwendungsbereiche. Diese Position wird auch in der Schule gern eingenommen: Im Mathematikunterricht gesellt sich zu dem Ideal einer keimfreien mathematischen Denkfähigkeit ein Anwendungsbezug, der oft nur technokratisch ist. Bei Simulationen etwa besteht die Gefahr, das das Modellieren und formale Handhaben der Dinge dieser Welt den Glauben nährt, das Wirkliche könne tatsächlich anhand seines Abbildes erledigt werden – in letzter Konsequenz erledigt von einer Maschine.

Die technische Entwicklung wird nicht aufgehalten. Die bewährten mathematischen Methoden werden weiterhin vermittelt und weiterentwickelt. Es werden weiterhin junge Menschen herangebildet, um als Partner mächtiger Machinen zu forschen, zu erfinden, anzuwenden. Spezialisierung wird weiterhin sinnvoll sein – solange nicht der Blick für das Ganze versperrt ist. Aber hier liegt die aktuelle Gefahr: In der einseitigen Ausrichtung unserer Computer-Fachleute (der Freaks) vielleicht schon vom Kindesalter an. Diesem ein Gegengewicht zu bilden, wird eine Aufgabe auch des Mathematikunterrichts sein. Aufklärend müssen wir jedem Schüler die Computer-Maschine als determinierte Existenz vorstellen, reich an Facetten zwar, aber in jedem Fall endlich – auch im mathematischen Sinn. Sich selbst wird der Schüler dagegen als offenes Wesen begreifen müssen, ungeplant und unberechenbar, aber gerade dadurch frei und verantwortlich.

Der Mathematikunterricht kann bei der Vermittlung von Mensch und Maschine einen wertvollen Beitrag leisten, wenn das didaktische Konzept für den Computereinsatz pädagogische, fachliche und informationstechnische Gesichtspunkte berücksichtigt:

• Das Kind steht im Mittelpunkt:

An die Spiellust des Kindes anknüpfend besteht die Chance, seinen Forscherdrang aufzugreifen und experimentelles Arbeiten zu fördern. Selbständiges Entdecken und Ausprobieren stärkt die Identifikation mit dem Produkt (weniger mit dem Werkzeug) und begünstigt die Entwicklung in persönlichen Erfahrungen verankerten Wissens. Eine sinnvoll organisierte Arbeit im Team kann dabei die zwischenmenschliche Kommunikationsfähigkeit und die Kooperationsbereitschaft fördern.

• Der Fachunterricht wird unterstützt:

Beim selbständigen Programmieren wird Mathematik als Tätigkeit erlebt."Mathematisches und Computermodell werden in ständiger Wechselwirkung miteinander entwickelt. Ideen für die Problemlösung werden möglichst unmittelbar in die Programmiersprache übertragen und im Prozeß des »strukturierten Wachstums« der Programmierumgebung einverleibt. Erproben, Verbessern, Verfeinern und Verallgemeinern sind grundlegende Arbeitstechniken." [Hoppe] Das Programm bildet schließlich als extern repräsentiertes, "lauffähiges" Modell die Problemlösestrategie nach und bietet Anlaß zur Erprobung und Diskussion. Das Herausfinden der zugrunde liegenden Strukturen und Funktionsmechanismen bietet einen direkten Zugang zum formalen und mathematischen Denken. In einer geeigneten Sprachumgebung werden die Schüler zu seiner selbständigen Konstruktion und Formulierung mathematischer Begriffe geführt. Eine solche Terminologie ist Voraussetzung für die Selbstreflexion und für Gespräche über den Prozeß der Ergebnisgewinnung.

• Informationstechnik wird erlebt:

Im Mathematikunterricht lernt der Schüler den Computer als Benutzer und Gestalter kennen. Dabei erfährt er durch eigenes Handeln die bei der Modellbildung sich vollziehende Reduktion und Verfremdung, zugleich erlebt er ein Programm als einmal gelungene und nun durch den Computer immer wieder abrufbare, möglichst allgemeine Problemlösung. Scheinbar nebensächliche Beobachtungen bei der Programmentwicklung, z.B. die Erkenntnis, daß Programme nicht unmittelbar erkennbare Fehler enthalten können, oder die Erfahrung, daß wir geneigt sind, die Qualität eines Programms an der "Benutzer-Oberfläche" zu messen, erzeugen eine bewusst kritische Einstellung zu der uns umgebenden Computer-Welt, wie sie die Handhabung vieler fertiger Programmpakete nicht vermitteln kann. Gerade der direkte Vergleich eigenen Tuns und computergesteuerter Abläufe wirkt einer Entfremdung des Menschen entgegen.

Die Zielsetzungen des so beschriebenen Einsatzes des Computers im Mathematikunterricht zeigen große Übereinstimmung mit den allgemeinen Zielen dieses Fachs. Denn nach Winter [zitiert in Wittmann] soll der Mathematikunterricht dem Schüler Möglichkeit geben,
• schöpferisch tätig zu sein,
• rationale Argumentation zu üben,
• die praktische Nutzbarkeit der Mathematik zu erfahren und
• formale Fertigkeiten zu erwerben.
So gesehen drängt sich der Einsatz des Computers geradezu auf.

Programmieren als befreiende Kunst

Computer nehmen dem Menschen dadurch Arbeit ab, daß sie vorgeplante Arbeitsabläufe automatisch ausführen. Die Aufgabe des Benutzers besteht im wesentlichen darin, Informationen computergerecht aufzuarbeiten und einzutippen. Da wir auch ohne Computer mit Informationen umgehen lernen, würde das Neue am Einsatz von Computern in der Schule darin bestehen, daß die Kinder Bedienungsanweisungen lernen, Daten eintippen und ablesen und sich ansonsten auf das Funktionieren der Maschine verlassen. Das kann aber nicht Ziel einer Erziehung sein.

"Man könnte sagen: Der Computer wird benutzt, um das Kind zu programmieren. In meiner Vorstellung programmiert das Kind den Computer, und dadurch erwirbt es nicht nur ein Gefühl der Souveränität [...], es stellt auch eine persönliche Beziehung zu einigen der tiefgreifensten Ideen [...] her." [Papert]

Die Begegnung des Kindes mit dem Computer muß so offen wie möglich angelegt sein und spielerisches, kreatives Vorgehen provozieren. Die Bedienung der Maschine muß – zumindest zu Beginn – so einfach sein, daß sie kindgemäßes Handeln zuläßt.

Die Igelgrafik (z.B. in LOGO oder COMAL) stellt in dieser Hinsicht einen sehr geeigneten Zugang zum Computer dar. Sie knüpft an kindliche Erfahrungen an und zeigt in unkomplizierter Weise die typischen Merkmale einer Computernutzung auf. Der Igel wird zu einem"Gegenstand mit dem man denkt" [Papert], zu einem Roboter, der direkt oder durch ein Programm gesteuert werden kann. Als "Igel" idealisiert wird das Verhalten des Computers durchsichtig, mit eigenem Tun vergleichbar und dadurch vorhersagbar und kontrollierbar. Die zugrunde gelegte Vorstellung vom Computer bestimmt schließlich auch die Vorstellung von dem, was mit einem Computer bearbeitet werden kann und wie.

So überzeugend dieses von Papert geprägte anthropomorphe Modell vom Computer ist, bei jüngeren Schülern könnte man befürchten, daß die "menschlichen Züge" dieses "Igels" die Grenze zwischen Mensch und Maschine unnötig verwischen. Eine Auseinandersetzung mit dieser Frage wird hier nicht nur angeregt, sie ist unabdingbar.

Andere Modellvorstellungen müssen hinzutreten, um das "Bild vom Computer" abzurunden. LOGO stellt z.B. den Datentyp Liste zur Verfügung, das ist eine Reihe von beliebigen Elementen, die wie die Wagen eines Güterzugs rangiert werden können. Für mathematische Anwendungen bedeutsam ist das Operatormodell, realisiert durch Programmfunktionen.

Ein anderes wichtiges Computermodell stellt die Tabellenkalkulation dar: eine Tabelle, in deren Felder Texte und Zahlen eingetragen werden, aber auch Rechenausdrücke, die sich auch auf Werte in anderen Feldern beziehen können, und automatisch ausgewertet werden.

Die Vorstellung vom Computer auf die Begegnung mit nur einem dieser Modelle zu beschränken, würde ein einseitiges Bild vermitteln."In der BRD steht der Computereinsatz im Mathematikunterricht vorrangig unter dem Gesichtspunkt der Programmierung numerischer Verfahren. […] Logo erschließt dem Computer im Mathematikunterricht neue Anwendungsfelder wie Grafik, Symbolverarbeitung und die Rekonstruktion mathematischer Strukturen. Es ist möglich und wünschenswert, daß dadurch der allgemeinere Aspekt der Modellbildung gegenüber dem reinen Algorithmieren an Bedeutung gewinnt." [Hoppe]

Infrage zu stellen ist ein Computereinsatz, der sich auf die Anwendung fertiger Programme beschränkt, etwa eines Demonstrationsprogramms zur iterativen Berechung von Quadratwurzeln, das eine Folge von Zahlen ausspuckt, die in ähnlicher Form in jedem Schulbuch abgedruckt sind. Was ist vom Unterrichtseinsatz eines Programms zu halten, das – mit begrenzter Auflösung – den Graphen einer beliebigen Funktion darstellt und nun begierig auf Benutzereingaben wartet?

Am Computer gewinnt der Schüler Erfahrungen, die seine Einschätzung der eigenen Person, die der Menschen insgesamt und auch die der sie umgebenden Technik maßgeblich beeinflussen. Es ist deshalb von außerordentlicher Wichtigkeit, welche Rolle die Schule dem Computer und welche sie dem Schüler zuweist.

Wenigstens in der Schule sollte die Rollenverteilung so gestaltet werden, daß der Mensch der Maschine voraus ist, aktiv, kreativ. Programmieren also nicht allein auf ein Ergebnis gerichtet, sondern Programmieren auch als befreiende Kunst - wie jede Kunst ohne Leistungsdruck zu pflegen und nicht konsequent zu bewerten.

Konkret: Ein Programmierlehrgang

Im folgenden wird eine Einführung in LOGO dargestellt, die zunächst grundlegende Erfahrungen vermittelt und dann einen sinnvollen Computereinsatz beschreibt.

Dieser Lehrgang wurde mehrfach im Mathematikunterricht und in Arbeitsgemeinschaften verschiedener Klassenstufen (7 bis 12 im Gymnasium) sowie in der Lehrerfortbildung durchgeführt. Ohne Unterschied konnte beobachtet werden, wie sich bei den Anfängern nach schnellen Erfolgserlebnissen bald Sicherheit und nachfolgend eine hohe Motivation zu weiterer Arbeit mit dem Computer einstellte. Das "Igel"-Modell kam insbesondere den Mädchen sehr entgegen, so daß sie sehr bald die Berührungsangst vor dem Computer verloren. Eher verhalten reagierten unter den Jungen die Schüler mit Vorkenntnissen in einer Programmiersprache. Einige von ihnen waren dermaßen gewohnt, sich auf spezielle Tricks zu konzentrieren, daß ihre Arbeitsergebnisse oft hinter denen der Anfänger zurückblieben, die unbefangen das Strukturkonzept aufnahmen. Da die Möglichkeiten und Grenzen des Computers und die Bedeutung des Programmierens unmittelbar erfahren werden konnten, verwundert es nicht, daß die Schüler sich anschließend positiv, aber durchaus kritisch zum Computereinsatz äußerten. Weitermachen wollten fast alle.

1. Grundbefehle im Direktmodus

Nach dem Laden des LOGO-Systems erscheint auf dem Monitor ein Fragezeichen mit der blinkenden Schreibmarke dahinter, Aufforderung an den Benutzer, einen Befehl zu erteilen. Der unbefangene Benutzer wird nun z.B. eintippen:

ZEICHNE EIN QUADRAT

Die Antwort des Computers ZEICHNE UNBEKANNT wird nicht überraschen. Schließlich ist er eine Maschine, und – wie so oft am Anfang – wurde auf den falschen Knopf gedrückt. Indirekt aber wird deutlich, daß der Computer andere Worte akzeptiert. Auch die Versuche:

EIN QUADRAT
QUADRAT

scheitern. Das Zeichnen eines Quadrats muß dem Computer auf niedrigerer Stufe beschrieben werden. Das "Igel"-Modell erleichtert die Formulierung: Ein dreieckiges Symbol auf dem Bildschirm – Abbild des "Igels" – kann durch Befehle wie VORWÄRTS, RECHTS, LINKS über den Bildschirm bewegt werden, wobei es als Spur eine weiße Linie hinterläßt. Auf den Befehl

VORWÄRTS

reagiert der Computer nun mit der Meldung VORWÄRTS BENÖGT MEHR EINGABEN. Die Seitenlänge des Quadrats muß (kann also) ausdrücklich festgelegt werden. Auch der RECHTS-Befehl erwartet eine Eingabe, denn RECHTS 90 ist gegenüber anderen Drehungen nicht ausgezeichnet. Demnach lautet eine Befehlsfolge, bei der der "Igel" auf dem Bildschirm ein Quadrat zeichnet:

VORWÄRTS 40
RECHTS 90
VORWÄRTS 40
RECHTS 90
VORWÄRTS 40
RECHTS 90
VORWÄRTS 40

Wenn der Lehrer diesen "Dialog" mit dem Computer vorführt, wird den Schülern deutlich:

a. Computer führen ganz bestimmte Befehle aus.

b. Befehle erwarten (in der Regel) weitere Eingaben, die das Ergebnis beeinflussen.

c. Computer liefern ganz bestimmte Ergebnisse (Bildschirmausgaben), und zwar unter gleichen Bedingungen immer dieselben.

Die letzte Aussage erfahren die Schüler in der sich anschließenden Experimentierphase, in der sie den vorgeführten Dialog nachvollziehen und durch Erweiterungen ausbauen (z.B. Zeichnen eines gleichseitigen oder gleichschenkligen Dreiecks als Pfeilspitze) .

Diese Phase wird vom unerfahrenen Benutzer mit Befriedigung vollzogen. Sieht er sich doch im Zentrum aller Entscheidungen, während sich der Computer als williger Arbeitssklave zeigt, der nur richtig angesprochen sein will. Die Sicherheit, die die Beherrschung der Maschine in diesem Stadium vermittelt, ist gewollt. Aus der Position des Überlegenen heraus sollte der Computer-Nutzer dann aber genauer prüfen, ob das Gerät wirklich verläßliche Ergebnisse liefert:

2. Programme

Wenn mehrere Quadrate entstehen sollen, werden immer wieder dieselben Tastenfolgen eingegeben. Um diesen Arbeitsvorgang abzukürzen, kann der Computer veranlaßt werden, eine Befehlsfolge für mehrmalige Verwendung zu speichern. Dazu gibt man ihr einen Namen, unter dem sie dann jederzeit abgerufen werden soll, z.B. gibt man ein:

PR QUADRAT
  VORWÄRTS 40
  RECHTS 90
  VORWÄRTS 40
  RECHTS 90
  VORWÄRTS 40
  RECHTS 90
  VORWÄRTS 40
ENDE

Der Text wird wie hier abgedruckt eingetippt. Das LOGO-System stellt bei Eingabe des Befehls PR ("Programm") automatisch einen Editor (ein "Notizblatt") bereit, der auch Korrekturen und spätere Ergänzungen ermöglicht. Die Texteingabe wird durch Betätigen der Tastenkombination CTRL-C abgeschlossen. Anschließend steht der einzelne Befehl QUADRAT für die gesamte Befehlsfolge. Durch

QUADRAT
QUADRAT
QUADRAT
QUADRAT

entsteht nun ein Fenster, was wiederum durch ein Programm beschrieben werden kann:

PR FENSTER
QUADRAT
QUADRAT
QUADRAT
QUADRAT
ENDE

Aufbauend auf dem vorhandenen Grundwortschatz wird so die Programmiersprache schrittweise erweitert.

Quadrate gefallen wegen ihrer Regelmäßigkeit, die sich in Form mehrfacher Symmetrie äußert, also in der Verbindung gleicher Teile. Im Programmtext von QUADRAT verrät sich diese Gesetzmäßigkeit durch wiederholte Nennung der Befehlsfolge VORWÄRTS 40 RECHTS 90. Ein WIEDERHOLE-Befehl erlaubt folgende Beschreibung:

VERGISS QUADRAT

PR QUADRAT
  WIEDERHOLE 4 [VORWÄRTS 40 RECHTS 90]
ENDE

Ein Test dieser geänderten Programmversion durch Befehl

FENSTER

liefert nun aber ein anderes Ergebnis. Warum?

Auch diese Programmentwicklung wird zunächst vom Lehrer vorgeführt und anschließend von den Schülern nachvollzogen. Es wird deutlich:

d. Mehrere Befehle lassen sich zu einem Programm zusammenfassen und dann als Baustein in anderen Programmen verwenden.

e. Die Veränderung eines Bausteins ist möglich, sie wirkt sich auf alle übergeordneten Programme aus.

Zur Übung werden die Schüler aufgefordert, ein Programm DREIECK (gleichseitig) zu entwickeln und zu testen. Mit Hilfe dieses Programm soll dann ein Stern oder ein "Rad" oder ein Bildrahmen entworfen werden.

3. Programme mit Eingaben

Das Programm QUADRAT beschreibt eine Figur mit vier gleich langen Seiten und vier gleich großen Winkeln. Während die Winkelgröße mit 90˚ festliegt, ist die Größe eines Quadrats beliebig wählbar. Der Befehl QUADRAT sollte so erweitert werden, daß die Größe der Figur ausdrücklich angegeben werden kann, z.B.:

QUADRAT 50
QUADRAT 90
QUADRAT 10

Diese Schreibweise entspricht den Befehlen VORWAERTS 50 VORWAERTS 90 VORWAERTS 10, so daß hier das Spracherweiterungs-Konzept deutlich wird. Dazu wird der Titel des Programms um einen Platzhalter für die Seitenlänge des Quadrats erweitert und im Programmtext die Zahl 40 durch den Platzhalter :S ersetzt (Der Doppelpunkt soll die Variable S von einem eventuell vorliegenden Programm namens S unterscheiden):

PR QUADRAT :S
  WIEDERHOLE 4 [VORWÄRTS :S RECHTS 90]
ENDE

Beim Start des Programms durch QUADRAT 50 bekommt S den Wert 50 und VORWÄRTS :S wird als VORWÄRTS 50 interpretiert. Der Befehl QUADRAT ohne Eingabe führt nun zu einer Fehlermeldung.

Zum Vergleich wird nun

VERGISS QUADRAT

PR QUADRAT :X
  DRUCKEZEILE :X*:X
ENDE

eingegeben und durch QUADRAT 50 getestet.

Es wird deutlich:

f. Ein Programm, das verschiedene Eingaben berücksichtigt, kann unterschiedliche Ausgaben erzeugen.

g. Nur wenn der Programmtext (oder eine Programmbeschreibung) und die Eingabe bekannt sind, kann die Ausgabe eines Programms vorherbestimmt werden.

Zur Übung sind Programme PR RECHTECK :A :B und PR KREIS :R zu schreiben. Der Kreis wird durch ein regelmäßiges 36-Eck angenähert, das bei begrenzter Auflösung des Grafikschirms einem Kreis einigermaßen nahe kommt. (Die Annäherung eines Kreises durch ein regelmäßiges Vieleck ist mathematisch korrekt und wird bei der Kreisberechnung geübt. Problematisch ist die Leichfertigkeit, mit der die auf dem Grafikschirm entstehende Punktreihe als Kreis bezeichnet wird.) Der Zusammenhang zwischen Radius von gedachtem Kreis und Kantenlängen des betrachteten 36-Ecks kann experimentell ermittelt werden.

4. Anwendung

Der Neuling hat nun einen ersten Einblick in die Computerwelt bekommen. Auf mittlerer Ebene – bei der Programmierung – mit dem Computer konfrontiert, wird er nun vermutlich vor zwei Fragen stehen, die als Erweiterung "nach unten" und "nach oben" gesehen werden können:

•   Auf welchen Befehlen basiert das System?

•   Welche Arten von (Anwendungs-)Programmen gibt es?

Während die erste Frage sich auch auf technische Aspekte bezieht, verweist die zweite auf das große Gebiet der Anwendersoftware. Um die Leistung dieser vorgedachten (programmierten) Problemlösungen einordnen (begreifen) zu können, sollte in einem nächsten Schritte zunächst eine – wenn auch bescheidene – eigene Software entwickelt werden.

Aufgabenstellung:

Zu mehreren gleichartigen Datenreihen sollen Stabdiagramme erstellt werden. (Z.B. werden von allen Schülern Summenhäufigkeiten beim 50-maligen Wurf zweier Würfel experimentell bestimmt und nun mit Hilfe eines Programms in durch ein Diagramm veranschaulicht.)

Anleitung:

1. Ein Programm PR STAB :N läßt den Igel ein Rechteck N Punkte hoch und 15 Punkte breit zeichnen. Der Igel soll das Rechteck rechts herum zeichnen und am Schluß in der rechten unteren Ecke wieder nach oben ausgerichtet stehen, so daß sich unmittelbar ein nächster Stab anschließen kann:

2. Ein Wochen-Diagramm entsteht, wenn z.B. nacheinander eingegeben wird:

STAB 40 STAB 25 STAB 50 STAB 45 STAB 30 STAB 25 STAB 40

Die Eingabe kann dadurch abgekürzt (und damit benutzerfreundlicher gestaltet) werden, daß ein Programm PR DIAGRAMM :A :B :C :D :E :F :G vorgeschaltet wird, das die sieben Daten annimmt und zu ihrer grafischen Darstellung siebenmal das STAB-Programm aufruft. Lohnend ist das natürlich nur, wenn das Programm häufig benutzt wird:

3. Wenn 11 statt 7 Daten im Diagramm darzustellen sind, ist das Programm DIAGRAMM zu erweitern, wenn nur 4 Daten vorliegen, muß es verkürzt werden. Ein allgemein anwendbares Programm DIAGRAMM sollte jede Anzahl von Daten verarbeiten können, z.B.

DIAGRAMM [40 20 50 45 30 25 40]
DIAGRAMM [9 15 28 35 42 56 49 40 33 19 10]
DIAGRAMM [33 29 35 26]

Wie beim WIEDERHOLE-Befehl werden hier die Daten von eckigen Klammern eingeschlossen und so zu einer Einheit (Liste) zusammengefaßt. Zur Bearbeitung von Listen gibt es spezielle Befehle, wir benötigen nur ERSTES (liefert das erste Element einer Liste) und OHNEERSTES (liefert den Rest der Liste, also die Liste ohne das erste Element).

Um das Programm zu entwickeln, das beliebig lange Datenlisten verarbeitet, wird überlegt, wie man das Diagramm ohne Computer erstellen würde:

Ich würde zunächst den Stab zur ersten Zahl in der Liste zeichnen und
mich dann erst einmal zurücklehnen, um mein Werk betrachten.

Anschließend würde ich den Rest des Stabdiagramms mit gleicher Sorgfalt zeichnen.

Diese Beschreibung der Lösung kann in LOGO direkt formuliert werden:

PR DIAGRAMM :L
  STAB ERSTES :L
  DIAGRAMM OHNEERSTES :L
ENDE

Beim Test des Programms ergeben sich korrekte Diagramme, jedoch bricht die Programmausführung jedesmal mit einer Fehlermeldung ab, denn wenn die Datenliste schließlich abgearbeitet ist, kann ERSTES kein erstes Element mehr herausgreifen. Als erste Programmzeile sollte deshalb

WENN :L = [] DANN AUSSTIEG

eingefügt werden.

Es wird deutlich:

h. Programme können neben Zahlen auch Listen (also strukturierte Daten) verarbeiten.

i. Die Ausführung eines Programms und Programmteiles kann vom Eintreten einer bestimmten Bedingung abhängig gemacht werden. (Wiederholungen und Bedingungen geben dem Programm eine Struktur.)

Die rekursive Formulierung einer Wiederholung sollte nicht überbewertet werden, da sie jederzeit in eine iterative Form überführt werden kann, z.B.:

PR DIAGRAMM :L
  ANFANG:
  WENN :L = [] DANN AUSSTIEG
  STAB ERSTES :L
  SETZE "L OHNEERSTES :L
  GEHE "ANFANG
ENDE

Ausblick auf weitere Anwendungen

Die wenigen im letzten Abschnitt eingeführten Elemente der Programmiersprache LOGO reichen für die exemplarische Behandlung vieler Anwendungen aus. So kann der Computer – wenn es die Unterrichtssituation zuläßt – spontan einbezogen und der Unterrichtsstoff auf ihn hin entwickelt und präzisiert und/oder im Umgang mit diesem Gerät vertieft werden. Da der Computereinsatz parallel zum regulären Unterricht erfolgt, stellt sich auf diese Weise zugleich das Werkzeug Computer zur Diskussion.

Die folgenden Beispiele (siehe dazu [Teiwes]) vermitteln einen Eindruck von der Leichtigkeit, mit der mathematische Algorithmen und mathematische Datenstrukturen in einer geeigneten Programmiersprache dargestellt werden können.

1. Intervallschachtelung

Nachdem im Unterricht das Verfahren der Intervallschachtelung (z.B. das Halbierungsverfahren) erarbeitet und mit Hilfe des Taschenrechners die ersten Intervalle einer Schachtelung von z.B. √2 berechnet sind, wird der Algorithmus für den Computer präzisiert und dazu etwa in folgende Form gebracht:

PR INTERVALL :A :B
  (DRUCKEZEILE :A :B)
  SETZE "M (:A+:B)/2
  PRUEFE :M*:M < 2
  WENNWAHR INTERVALL :A :M
  WENNFALSCH INTERVALL :M :B
ENDE

Das Programm liefert den Anfang einer Intervallschachtelung für die Wurzel aus 2, wenn das Anfangsintervall korrekt vorgegeben wird. Wegen der zwangsläufig begrenzten Zahlendarstellung im Computer endet die Intervallhalbierung entgegen der Erwartung (und Theorie) sehr bald!

2. Koordinatengeometrie

In Anlehnung an das Programm DIAGRAMM entsteht das Programm ZUG, das den Igel der Reihe nach zu den in einer Liste genannten Punkten (durch zweielementige Listen repräsentiert) führt:

Ein vorgeschaltetes Programm ZEICHNE verhindert, daß die alte Igelposition als Anfang des Streckenzuges erscheint:

Das Hilfsprogramm AUFPUNKT erhält als Eingabe eine Punktliste. Es greift die x- und die y-Koordinate aus dieser Liste heraus und übergibt sie dem Grundbefehl AUFXY, der den Igel geradlinig auf die genannten Koordinaten führt.

PR ZUG :L
  WENN :L=[] DANN AUSSTIEG
  AUFPUNKT ERSTES :L
  ZUG OHNEERSTES :L
ENDE

PR ZEICHNE :L
  STIFTHOCH
  AUFPUNKT ERSTES :L
  STIFTAB
  ZUG OHNEERSTES :L
ENDE

PR AUFPUNKT :P
  SETZE "X ERSTES :P
  SETZE "Y LETZTES :P
  AUFXY :X :Y
ENDE

Die Programme verarbeiten ohne jede Änderung auch Punkte des dreidimensionalen Raumes und liefern Grundrisse der eingegebenen Figuren. Durch kleine Änderungen des Programms AUFPUNKT werden auch Aufrisse, Seitenrisse, Schrägbilder und perspektivische Abbildungen möglich.

Anmerkung: In der Programmiersprache LOGO wird deutlich zwischen dem Namen und dem Wert einer Variable unterschieden. :X kennzeichnet den Wert einer Variable X und "X ihren Namen. Nachdem z.B. durch SETZE "X ERSTES :P der Variable X ein Wert zugewiesen wurde, kann durch :X (als Abkürzung für WERT "X) ihr Wert wieder abgerufen werden.

3. Geometrische Berechnungen

Wo liegt der Mittelpunkt des Kreises, der durch die Punkte (1|2), (3|4), (2|5) führt? In Anlehnung an die geometrische Konstruktion werden Funktionen entwickelt, die

• den Mittelpunkt einer Strecke (MP),

• die Steigung einer Strecke (ST),

• die Steigung einer Senkrechten auf einer Strecke (SS),

• die Koeffizienten der Gerade durch einen Punkt mit bekannter Steigung (PS),

• den Schnittpunkt zweier Geraden (SP)

bestimmen. Der Fall m = ∞ wird zunächst ausgeschlossen. Der gesuchte Mittelpunkt ergibt sich dann z.B. durch:

SETZE "A [1 2]
SETZE "B [3 4]
SETZE "C [2 5]
SETZE "D MP :A :B
SETZE "E MP :A :C
SETZE "MG SS ST :A :B
SETZE "MH SS ST :A :C
SETZE "G PS :D :MG
SETZE "H PS :E :MH
SP :G :H

Oder kurz in einem Programm:

PR MK :A :B :C
  RUECKGABE SP (PS (MP :A :B) (SS ST :A :B)) (PS (MP :A :C) (SS ST :A :C))
ENDE

Im Mittelpunkt des Unterrichts steht die Entwicklung der Programme, nicht ihre Anwendung. In der Testphase sollte jedoch deutlich werden, daß nun, da der Computer die Rechnungen abnimmt, um so deutlicher die Frage erscheint, was berechnet werden soll und wozu überhaupt.

4. Computer als Berater

Die Automatisierung läßt sich weiterführen, indem auch die Wahl des Rechenweges dem Computer überlassen wird. Soll etwa nach Vorgabe von drei oder mehr Größen eines Dreiecks eine weitere berechnet werden, so kann sich folgender "Dialog" mit dem Rechner abspielen:

WELCHE DER GROESSEN A, B, C, ALPHA, BETA, GAMMA SIND GEGEBEN?
>A B BETA
WELCHE GROESSE IST GESUCHT?
>C
BERECHNE ALPHA MIT SINUSSATZ A B ALPHA BETA
BERECHNE GAMMA MIT WINKELSUMMENSATZ ALPHA BETA GAMMA
BERECHNE C MIT SINUSSATZ C A GAMMA ALPHA

Obwohl das zugehörige Programm flexibel auf unterschiedliche Vorgaben reagiert, wird es durch einen einfachen Algorithmus beschrieben: Die gegebenen Größen (das Wissen) werden in einer Liste festgehalten. Das Programm erweitert diese Liste unter Benutzung vorgegebener Regeln, die auch durch Listen repräsentiert werden, solange, bis die gesuchte Größe darunter ist. Eine Regel ist genau dann brauchbar, wenn alle bis auf eine der in ihr genannten Größen bekannt sind. Dann kann ja die fehlende Größe aus den anderen berechnet und in die Liste der gegeben Größen (das Wissen) aufgenommen werden.

Im Unterricht wird es ausnahmsweise sinnvoller sein, die Schüler zunächst mit den "Fähigkeiten" des Computers zu konfrontieren, um dann die Grundidee des Algorithmus zu erarbeiten und ihre Einfachheit offen zu legen.

Literatur

Deutscher Verein zur Förderung des mathematischen und naturwissenschaftlichen Unterrichts e.V. (MNU), Empfehlungen und Überlegungen zur Gestaltung von Lehrplänen für den Computer-Einsatz im Unterricht der allgemeinbildenden Schulen. MNU 38 (1985) Heft 4

Hoppe, Heinz Ulrich: Logo im Mathematik-Unterricht. Vaterstetten: IWT-Verlag 1985

Hurrelmann, Bettina und Claus: Ein neues Lernfeld für Schüler und Lehrer - Für eine kritische Auseinandersetzung. in: Bildschirm Jahresheft III

Köhler, Hartmut: Computer als Herausforderung - zur Sklavenarbeit? Fragen zur Computerwelt und möglichen Reaktionen durch allgemeinbildende Schulen. MNU 38 (1985) Hefte 1 und 2

Teiwes, Eike: LOGO im Unterricht, Eine Einführung für den Mathematik- und Informatikunterricht im Sekundarbereich I, Schroedel-Verlag 1986

Wittmann, Erich: Grundfragen des Mathematikunterrichts. Braunschweig/Wiesbaden:
Vieweg 1981