StossFormel

Impuls- und Energieerhaltung beim Stoß

 

Wir betrachten den zentralen Stoß; bekannt sind dazu die Formeln für Impulserhaltung und Energieerhaltung.

Als Bezeichner für Massen werden m[1], m[2] und für Geschwindigkeiten v[1], v[2] (vor dem Stoß), V[1], V[2] (nach dem Stoß) eingeführt.

Impulsformel  := m[1]*v[1]+m[2]*v[2]=m[1]*V[1]+m[2]*V[2];

Energieformel := 1/2*m[1]*v[1]^2 + 1/2*m[2]*v[2]^2 = 1/2*m[1]*V[1]^2 + 1/2*m[1]*V[2]^2;

math

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Im konkreten Beispiel soll ein Körper die Masse 10000 kg und die Geschwindigkeit 5 m/s besitzen, der andere die Masse 100000 kg und die Geschwindigkeit 0.

m1 :=  10000: // Nur hier werden die bekannten Daten eingetragen.

m2 := 100000:

v1 := 5:

v2 := 0:

Bezogen auf die obigen Formeln heisst das:

gegeben := m[1]= 10000, v[1]=5,

           m[2]=100000, v[2]=0;

math

Folglich

Impulsgleichung  := Impulsformel  | gegeben;

Energiegleichung := Energieformel | gegeben;

math

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Für den unlastischer Stoß ergibt sich durch Anwendung nur der Impulserhaltung

loesung := solve({Impulsgleichung, V[1]=V[2]});

V1 := V[1] | loesung; // zwischengespeichert

V2 := V[2] | loesung; // zwischengespeichert

math

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s[1] und s[2] beschreiben den Abstand der Körper vom Nullpunkt.

s[1] := t -> piecewise([t<=0,v1*t-0.2],[t>0,V1*t-0.2]):

s[2] := t -> piecewise([t<=0,v2*t+0.2],[t>0,V2*t+0.2]):

plotfunc2d(s[1],s[2])

MuPAD graphics

Animation zum unelastischen Stoß:

In p[1] und p[2] werden die zur Vorbereitung der Grafik berechneten graphischen Elemente gespeichert.

p[1] := plot::Point2d(

    s[1](t), 0, PointSize=float(0.1*m1^(1/3))*unit::mm, Color=RGB::Red,

    t=-3..12, Frames=100

):

p[2] := plot::Point2d(

    s[2](t), 0, PointSize=float(0.1*m2^(1/3))*unit::mm, Color=RGB::Green,

    t=-3..12, Frames=100

):

plot(p[1],p[2],YAxisVisible=FALSE,ViewingBoxXRange=-10..10);

Für den elastischer Stoß ergibt sich

Impulsgleichung;

Energiegleichung;

math

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loesung := solve({Impulsgleichung, Energiegleichung});

// Die erste Lösung wird ausgeschlossen:

V1 := V[1] | loesung[2];

V2 := V[2] | loesung[2];

math

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s[1] und s[2] beschreiben den Abstand der Körper vom Nullpunkt.

s[1] := t -> piecewise([t<=0,v1*t-0.2],[t>0,V1*t-0.2]):

s[2] := t -> piecewise([t<=0,v2*t+0.2],[t>0,V2*t+0.2]):

plotfunc2d(s[1],s[2])

MuPAD graphics

In p[1] und p[2] werden die zur Vorbereitung der Grafik berechneten graphischen Elemente gespeichert.

p[1] := plot::Point2d(

    s[1](t), 0, PointSize=float(0.1*m1^(1/3))*unit::mm, Color=RGB::Red,

    t=-3..12, Frames=100

):

p[2] := plot::Point2d(

    s[2](t), 0, PointSize=float(0.1*m2^(1/3))*unit::mm, Color=RGB::Green,

    t=-3..12, Frames=100

):

plot(p[1],p[2],YAxisVisible=FALSE,ViewingBoxXRange=-10..10);